Brownsk Glidande Medelvärde

Dekalog s Brownian Motion Indicator. Dekalog Blog är en intressant webbplats där författaren Dekalog försöker utveckla nya och unika sätt att tillämpa kvantitativ analys till handel. I ett nyligen inlägg diskuterade han med begreppet Brownian Motion på ett sätt som skulle skapa Band runt ett diagram s slutkurser Dessa band skulle representera icke-trending perioder, och en näringsidkare kunde identifiera vilken tid priset var utanför banden som trending period. Dekalog s metod för att använda Brownian Motion skapar övre och nedre band som definierar trending villkor . Roten till de flesta varje trend som följer handelssystemet är ett sätt att definiera en trendens existens och bestämma dess riktning. Använda Dekalog s Brownian Motion-idé som root för ett system kan vara ett unikt sätt att identifiera trender och extrahera vinster från marknader genom dessa trends. Här är det som Dekalog förklarar sitt koncept. Den grundläggande förutsättningen, från Brownian motion, är att den naturliga loggen över prisförändringar i genomsnitt sker i proportion L till kvadratroten av tiden. Ta till exempel en period på 5 som leder till den aktuella linjen. Om vi ​​tar ett 5-årigt enkelt glidande medelvärde av de absoluta skillnaderna i prislista över denna period får vi ett värde för den genomsnittliga 1 bar-kursrörelsen under denna period. Detta värde multipliceras sedan med kvadratroten på 5 och läggs till och subtraheras från priset för 5 dagar sedan för att få en övre och nedre gräns för den aktuella fältet. Han tillämpar sedan dessa övre och nedre gränserna till diagrammet. Om den aktuella linjen ligger mellan gränserna, säger vi att prisrörelsen under de senaste 5 perioderna överensstämmer med brunisk rörelse och deklarerar en frånvaro av trend, det vill säga en sidledes marknad. Om den nuvarande stapeln ligger utanför gränserna, förklarar vi att prisrörelsen över De sista 5 staplarna överensstämmer inte med brunisk rörelse och att en trend är i kraft, antingen upp eller ner beroende på vilket band den nuvarande stapeln är bortom. Dekalog anser också att detta koncept kan ha värde utöver att bara vara en indikator. Det är lätt att föreställa sig många användningsområden för det här med avseende på indikatorskapande, men jag avser att använda gränserna för att tilldela en poäng av pris slumpmässig trendighet över olika kombinerade perioder för att tilldela prisrörelsen till lagerplatser för efterföljande Monte Carlo skapande av syntetiska prisserier. Brownian Motion och FOREX Market. By Armando Rodriguez. It skulle inte vara en första att en formulering utvecklad för fenomen i ett fält framgångsrikt används i en annan, det har till och med ett namn och det kallas analogi Det finns många exempel på analogier som Formulering för att lösa statiska mekaniska strukturer är densamma som den som används för att lösa elektriska nätverksnyheter diffusa som bläck i stillvatten och så många andra Här fastställer vi analogi av valutamarknadsprisförändringar till den bruna rörelsen. Även analogier görs Inte bara för njutningen av naturens symmetri men vanligtvis efter något praktiskt ändamål. I det här fallet vill vi veta när en handelsalgoritm inte kommer att gynna vinst och så handlar shoul d läggas på håll. Den bruna rörelsen. Brownian motion som heter för botaniker Robert Brown hänvisade ursprungligen till slumpmässig rörelse observerad under mikroskop av pollen nedsänkt i vatten. Det var förbryllande eftersom pollenpartikel suspenderad i perfekt stillvatten inte hade någon uppenbar anledning att Flytta alla Einstein påpekade att denna rörelse orsakades av den slumpmässiga bombardemanget av värmeupphetsade vattenmolekyler på pollen Det var bara resultatet av materiens molekylära natur. Modern teori kallar det en stokastisk process och det har visat sig att det kan vara Reducerad till rörelsen en slumpmässig vallare En endimensionell slumpmässig vallare är en som är lika sannolikt att ta ett steg framåt som bakåt, säg X-axeln, vid vilken tidpunkt som helst En bidimentell slumpmässig vallare gör detsamma i X eller Y, se illustrationen. priserna förändras något vid varje transaktion, ett köp kommer att öka sitt värde en försäljning kommer att minska den Med tanke på tusentals köp och säljtransaktioner bör aktiekurserna visa en endimensionell Br egen rörelse Detta var föremål för Louis Bachelier doktorsavhandling tillbaka 1900, spekulationsteorin. Det presenterade en stokastisk analys av aktie - och optionsmarknaderna. C-valutakurser bör uppträda mycket som en pollenpartikel i vatten too. Brownian Spectrum. An interesting Egenskapen hos den bruna rörelsen är dess spektrum. Eventuella periodiska funktioner i tid kan anses vara summan av en oändlig serie sinus cosinusfunktioner av frekvenser flera till invers av perioden. Detta kallas Fourier-serien. Konceptet kan vidareutvecklas till Icke-periodiska funktioner, vilket gör att perioden kan gå till oändlig, och detta skulle vara Fourier-integralet. Istället för en sekvens av amplituder för varje multipelfrekvens som du behandlar en funktion av frekvensen, kallas denna funktion spektrum. Signalrepresentation i frekvensutrymmet är Det gemensamma språket i informationsöverföring, modulering och ljud Grafiska equalizers, inkluderade även i hemmaljudutrustningen eller PC-ljud pr Ogram, har tagit konceptet från vetenskapssamhället till hushållet. Presentera någon användbar signal är ljud Det här är oönskade signaler, slumpmässiga i naturen, från olika fysiska ursprung. Strålns spektrum hänför sig till dess ursprung. Johnson Nyquist ljudsignal buller Johnson brus eller Nyquist ljud är det elektroniska bruset som genereras av laddningsbärarnas termiska omröring vanligtvis elektronerna i en elektrisk ledare vid jämvikt, vilket händer oavsett vilken spänning som helst. Termiskt brus är ungefär vitt, vilket betyder att Effektspektral densitet är lika över hela frekvensspektrumet. Flimmerbuller är en typ av elektroniskt brus med ett 1 f - eller rosa spektrum. Det kallas därför ofta som 1 f-brus eller rosa ljud, men dessa termer har bredare definitioner. Det förekommer i nästan alla elektroniska enheter och resultat från olika effekter, såsom föroreningar i en ledande kanal, generering och rekombinationsbuller i en transistor beroende på basströmmen och så vidare. Slutligen är brunt brus eller rött ljud det typ av signalbrus som produceras av brunisk rörelse. Den spektrala densiteten är proportionell mot 1 f 2, vilket betyder att den har mer energi vid lägre frekvenser, ännu mer än rosa ljud. Betydelsen av denna diskussion är att när du Beräkna frekvensen av FOREX-hastighetssignalen det råkar ha ett 1 f 2 - beroende, vilket betyder att det också är brunt i naturen. Uppförande i tiden. FOREX-marknadens beteende i avsaknad av händelser fungerar också perfekt Brownian Det här är att säga att FOREX satser beter sig som unidimentella slumpmässiga vandrare Sannolikheten att hitta en slumpmässig vandrare i position x efter en tid t följer den gaussiska lagen. Var s är standardavvikelsen, att för en slumpmässig vandrare är en funktion av kvadratroten av t och detta Är vad FOREX-priserna följer med experimentell perfektion som visas nedan för EUR USD-citat i figur 1. Ett analytiskt uttryck för ovanstående figur med ränta i pips och t i minuter från en initial tid t 0.In i genomsnitt är det 45 EUR USD citat på en minut, så ovanstående uttryck kan sättas i form av N-citatet efter en initial tid. Drift och Random Motions. Motion av pollenpartiklar kan sägas ha två komponenter, en Slumpmässigt i naturen som beskrivs ovan, men om vätskan har ett flöde i någon riktning, läggs en drivrörelse över till Brownian. FOREX-marknaden presenterar båda typerna av rörelse, en högre frekvens slumpmässig komponent och en långsammare driftdrift som orsakas av nyheter som påverkar Räntomotiv är dåligt för spekulationsaffären. Det finns inget sätt att genomsnittsvinst på en perfekt slumpmässig marknad. Endast drivrörelse kan ge vinster. Marknadslöshetsförmågan är inte konstant i tid och det är inte heller rörelse. Under nyhetshändelser är rörelserörelser stora och Det är under händelser som vinster kan göras, men det finns renare händelser där automatiska algoritmer fungerar bäst och det finns smutsiga, med mycket slumpmässighet som kan driva den smartaste algoritmen till losi Ng. FOREX Marknadsvaluta Par Temperatur. I ett fysiskt system kan intensiteten hos en partikelns bruniska rörelse tas som den genomsnittliga kvadraten av dess slumpmässiga hastighet och detta befanns vara proportionellt mot temperaturen och omvänt till partikelns massa. Slumpmässigt hastighet är skillnaden i totalhastigheten minus medelhastigheten eller drifthastigheten. Den sanna känslan till en drifthastighet skulle vara medelhastigheten hos ett stort antal partiklar vid given tidpunkt som skulle indikera att hela kroppen av vätska och suspenderade partiklar rör sig Som helhet Men eftersom slumphastigheten måste vara genomsnittlig i tid till noll, är medeltiden av hastigheten för en enda partikel i tid också lika med drifthastigheten. I valutamarknaden analogi är valutaparatsen den partikel s endimensionell Position och så är hastigheten när som helst t den citatrörelsen sedan det sista citatet vid tiden t 0 dividerat med tidsintervallet. Medelhastigheten skulle vara det exponentiella glidande medlet av citatema. T Han temperaturen av valutaparet Tcp skulle då vara. Tcp m 3K Vrdm 2.Massan av ett valutapar är en storlek som ska definieras, så Boltzman-konstanten har ingen mening här Fortfarande är den långsiktiga medelintensiteten hos den bruna rytmens rörelse Observeras bero på valutaparet, så de verkar visa olika massor. Att hitta massan för varje valutapar skulle tillåta att ha en gemensam referens för temperatur. Om vi ​​tog EUR-massan som 1, då. De ovanstående massorna ger en genomsnittlig temperatur på Liknar 300 K, vilket motsvarar rumstemperaturen i Kelvin-skalan vilket motsvarar 27 grader 80 6 Fahrenheit Men förutom fantasi ger det inte någon djupare inblick i problemet. Att göra m 3K 1 ger en temperatur som är lika med hastigheternas variationer Sedan Kvadratroten av variansen är standardavvikelsen, en sådan temperaturdefinition ger en uppfattning om hur intensiv slumpmässig rörelse är i. Event Detection och Valutatemperatur. En nyhetshändelse som påverkar värdet av t Han amerikanska dollar kan detekteras när dess ränta till resten av huvudvalutorna förändras konsekvent. Med andra ord, när kursrörelserna råkar korrelera Se Bilaga A om Event Trigger-beräkning. Ett numeriskt uttryck för denna korrelation är genomsnittet av skillnaden i förhållande till dess EMA Exponentiell Rörelse Genomsnittlig över alla huvudvalutor Problemet med detta tillvägagångssätt är att de signifikanta valutorna att överväga är inte så många, faktiskt bara 6 par kan användas. Ett medelvärde över ett sådant litet prov är inte immun mot slumpmässig rörelse och benägen att göra falska positiva. Upptäckten skulle kunna förbättras om bidraget till genomsnittsvärdet omväntes av parets temperatur. Exakt betraktas av sannolikheten för att observerad hastighetshastighet inte beror på rörelsens bruna natur. Att veta att hastighetsfördelningen i Brownian rörelser är gaussiska, i avsaknad av en händelse, sannolikheten att observera en hastighet under ett värde kan V beräknas av de A under den gaussiska sannolikhetstäthetenskurvan. I ord säger kurvan oss att detta överväger EUR USD-paret som vanligen visar en Vrdm 2 av 2 94 pips sekund, hastigheter under detta värde observeras 68 2 av tiden, bortom Endast 31 8 Så det är rättvist att säga att om en hastighet observerad är ovan, säg 6 är det mycket osannolikt 4 4 att det kommer från slumpmässighet. Det matematiska uttrycket för sannolikheten för en hastighet V, som inte är slumpmässig, är. p erf V 2 Vrdm 2.Where erf x är känd som felfunktionen. Den betraktande korrelationsgenomsnittet kommer nu att vara. Event Trigger. Michael Fowler, U Va 8 1 08.Införande Jiggling Pollen Granules. In 1827 var Robert Brown, en välkänd botaniker, Studerar sexuella relationer av växter och var särskilt intresserad av partiklarna i pollenkorn. Han började med en växt Clarckia pulchella, där han fann att pollenkornen fylldes med avlång granulat ca 5 mikron. Han märkte att dessa granuler var i konstant rörelse och nöjd själv att denna rörelse inte orsakades av strömmar i vätskan eller avdunstningen. Mindre sfäriska korn, som i början tog sig för att vara oblongs end-on, men senare insåg det var ännu mer kraftfullt. Han trodde först att han tittade på Planten motsvarade spermier som de jigglade runt för att de levde. För att kontrollera detta gjorde han samma experiment med döda växter. Det var lika mycket jiggling. Kanske alla organiska ämnen, allt som någonsin levde innehöll fortfarande en mystisk livskraft vid detta Mikroskopisk nivå Säker nog, han hittade rörelsen i små fragment av fossiliserat trä. Men sedan fortsatte han med att finna det i materia som aldrig levde små partiklar av fönsterglas och även damm från en sten som hade varit en del av sfinxen. Uppenbarligen hade ingenting att göra med substansen någonsin levande eller död, mycket till Browns överraskning Så vad orsakade det Kanske var det avdunstningsströmmar eller den infallande ljusenergin, eller bara lite obetydligt Ed vibrationer Men ingen av dessa förklaringar var mycket tillfredsställande. Efter ett århundrade senare uppstod en ny möjlig förklaring. Den kinetiska teorin om värme som utvecklats av Maxwell, Boltzmann och andra fick god tro. Om alla molekyler i vätskan verkligen var i kraftig rörelse, kanske Dessa små granuler förflyttades runt genom denna konstanta batterier från alla håll när vätskemolekylerna studsade. Men det var ett problem med denna förklaring bryter inte den andra termodynamikens lag. Det hade varit väl etablerat att energi alltid försämras, eftersom friktionen saktar Rörelse kinetisk energi går till värmeenergi Detta tycktes vara tvärtom den molekylära batteren var verkligen oorganiserad värmeenergi men när granulen rörde sig hade det uppenbarligen fått kinetisk energi Eftersom många forskare ansåg den andra lagen som en absolut sanning var de väldigt mycket skeptisk till denna förklaring. 1888 undersökte franska experimentalisten Lon Gouy rörelsen i detalj och fann att den var Mer livlig i vätskor med låg viskositet Han fastställde att den inte påverkades av intensiv belysning eller genom starka elektromagnetiska fält Trots den andra lagen trodde Guoy att slumpmässig rörelse verkligen genererades av termiska molekylära kollisioner. Det är lätt att se den bruniska rörelsen eller Brownian rörelse det kallas både genom att titta igenom ett mikroskop vid tobaksrök i luften Vi har en film här. Einstein s teori om osmosanalogi. I 1902 publicerade Einstein en teoretisk analys av brunisk rörelse. Han såg det som ett avgörande test av den kinetiska teorin , även om materiens atommolekylära natur Tidigare diskussioner om fenomenet hade alla varit kvalitativa Einstein visade att noggrann observation av brunisk rörelse kunde avslöja den faktiska storleken av molekyler, det vill säga hitta Avogadros nummer. Om resultaten av sådana experiment var konsekventa med andra uppskattningar av Avogadro s nummer, baserat på orelaterade fenomen som gasviskositetsmätningar och van der Waal s equat Jon passar till isoterm av verkliga gaser, skulle det vara ett kraftfullt argument för kinetikteorin Om däremot det var verkligt meningsskiljaktighet var den kinetiska teorin i allvarliga problem. Instein s tillvägagångssätt baserades på en analogi med osmos återkallande att osmos Innebär ett ämne lösningen upplöses i en annan, lösningsmedlet Lösningen har större molekyler Föreställ dig nu en behållare uppdelad i två av ett semipermeabelt membran, vilket betyder att lösningsmedelsmolekylerna kan passera genom de små hålen i det, men de lösta molekylerna är för stora för att få Genom antagandet på det ena sidan av membranet är det rent lösningsmedel, på den andra sidan antas lösningsmedel plus lösningsmedel ganska utspädd och i början är trycket på membrans båda sidor detsamma. Trycket på sidan med lösningsmedel bildas av båda lösningsmedlen och lösta molekyler studsar från membranet, så nödvändigtvis är den hastighet vid vilken lösningsmedelsmolekyler träffar membranet på denna sida mindre än på andra sidan Vissa procent av t Han lösningsmedelsmolekyler som träffar membranet passerar genom de små hålen, så vad som händer är att mer kommer att passera genom den rena lösningsmedelssidan och gradvis kommer trycket att byggas upp på lösningsmedelslösningen tills jämvikt uppnås, vilket betyder lika många lösningsmolekylmolekyler Går i varje sätt i genomsnitt. Instein s insikt var att en vätska som innehöll ett stort antal små identiska partiklar, såsom de som observerades i brunisk rörelse, inte alls skilde sig från ett lösningsmedel innehållande lösta molekyler. De bruna partiklarna var sant mycket större än Molekyler men de surrade runt och skulle därför studsa bort behållarens väggar, generera tryck. Den formella analysen borde vara densamma den kinetiska teorin, med energipartitionen förutspådde att de skulle ha kinetisk energi 1 5 k BT Om koncentrationen av partiklar varierade spatialt, skulle de flöda till jämnt ut. Here igen använde han en osmosanalog tänk på en cylindrisk behållare med en semipermeab Le membran som är som en kolv, fritt att röra. Lösningsmedelskoncentrationen är initialt större till vänster om kolven. Från föregående diskussion är det tydligt att lösningsmedlet kommer att flöda till vänster, vilket ökar trycket där, så kolven kommer Flytta till höger De lösta molekylerna kan inte korsa kolven så kolven kommer att röra sig tills lösningsmedelskoncentrationerna på de båda sidorna är lika. Det ganska överraskande resultatet är att om man antar en energipartition av energi, trycket på kolven från lösningen på Den ena sidan är densamma som om de lösta molekylerna rör sig fritt i ett vakuum. Den kraftigt minskade genomsnittliga fribanan betyder inte att trycket bara beror på koncentrationen i kolvens närmaste närhet och molekylernas hastighet. Och detta Är lika sant om de lösta molekylerna ersätts av små men makroskopiska sfärer. Det här är det som Einstein hävdar, och han gav ett formellt bevis baserat på en utvärdering av den fria energin, förutsatt att en utspädd system som betyder växelverkan mellan de sfäriska granulerna kan försummas. Så vi kan tänka på de små sfärerna som rör sig fritt genom rymden, och även om deras vägar faktiskt kommer att vara väldigt olika, bör beräkningar av lokalt tryck baserat på detta vara korrekta trycket på väggarna Från granulerna ges därför med den ideala gaslagen, det vill säga där den genomsnittliga kinetiska energin är skriven. W och om kinetikteorin är korrekt bör detta motsvara 1 5 k B T. An atmosfär av gula kulor. Så hur är det med detta kontrolleras experimentellt Som vi ska se i ett ögonblick, använde det första experimentet likformigt små sfärer i stället för granuler. Den första uppenbara tanke är att om man förutspår att vara 1 5 k BT kanske man kan mäta jigglinghastigheten hos den lilla sfären a Några gånger och ta ett medelvärde Detta förstår emellertid missförståndet av rörelsen en molekyl kommer att studsa av sfären runt 10 20 gånger per sekund, och även om det bara gör en liten skillnad mot sphe re hastighet, i ett hundra sekund av den genomsnittliga obalansen kommer N att vara 10 9 tillräckligt för att göra en förändring i en liten sfärens hastighet och alla de successiva förändringarna är helt slumpmässiga i riktning, så det är så hopplöst som att försöka Att mäta hastigheten hos H2S-molekyler i luft genom att släppa några och mäta tiden för lukten att nå den bortre änden av ett rum. En något mindre direkt metod för att hitta behövs Nu är det välkänt att i en Isotermisk atmosfär av en idealisk gas under tyngdkraften tätheten faller bort exponentiellt med höjden fastställs detta genom att balansera gravitationsstyrkan på en tunn horisontell skiva mot tryckskillnaden mellan topp och botten. Det hände till franska experimentalisten Jean Perrin att samma argument skulle Applicera på en gas av små likformiga sfärer i ett vätska deras tryck genereras av den bruniska rörelsen. I 1908 valde han gambogen en emulsion som användes för vattenfärg, som innehåller ljusa gula sfärer av olika storlekar Genom olika geniala knep som beskrivs i hans bok kunde han skilja ut sfärerna alldeles nära samma storlek. Han kunde mäta storleken, han visste densiteten och lösningsmedlets förmåga att beräkna gravitationsdraget. Han kunde även mäta minskningen i densitet med höjden i isotermisk jämvikt. Beräkningen är enligt följande för en horisontell skiva tjocklek dh med n sfärer per volymvolym, var och en av volym och densitet i en vätska av densitet I m ​​med användning av Perrin s notation här gravitations nedåtriktad kraft på skivan är ndh - detta balanseras av tryckskillnaden. Detta är enkelt integrerat för att ge den exponentiella vertikala densitetsprofilen. Perrin kan med hjälp av observation och mätning fastställa varje term i denna ekvation utom W så det var ett sätt att mäta W förutsätter självklart kinetisk teoris validitet. Nu motsvarar W till 1 5 k BT ger ett värde för Boltzmann s konstant och följaktligen via det kända gaskonstant RNA k B ett värde för Avogadro s nummer. Perrin upprepade experimentet med en mängd olika ämnen, experimenten var mycket utmanande. Hans resultat för Avogadro s var konsekvent mellan 510 23 och 810 23 Han påpekade att för de största granulerna som uppträder som en perfekt gas, ett gram Molekylen skulle väga 200 000 ton. Resultaten var förenliga med de andra ganska olika sätten att hitta Avogadro s nummer, och dessa experiment övertygade även de mest recalcitranta antitomteoretiska skeptikerna. Den kinetiska teorin var helt etablerad. Longevins teori. 1908 gav Langevin En mer direkt behandling av brunisk rörelse Han fokuserade på att följa en partikel som den jiggled runt Vi kommer att följa honom med att begränsa rörelsen till en dimension, förutsatt att de molekylära kollisionerna som driver rörelsen är helt slumpmässiga, är rörelserna i de tre riktningarna okorrelerade, så det kan också Behandlas separat och läggas till Slutligen kommer vi att försumma tyngdkraften och alla andra yttre kraftfält. Låt oss anta det då Vi spårar ett litet sfäriskt objekt med mass m och radie a. Det kommer att uppleva en viskös dragkraft -6 av Stokes-formel. Vi ska beteckna slumpmässig termisk molekylär kollisionskraft av X, som klart medeltar till noll. Att sätta upp energipartitionen gäller också Till den kinetiska energin i vår sfär. Där medlet är över en lång tid. Motionens ekvation är F. Multiplying hela genom x. which kan skrivas. Nu kommer vi att vara genomsnittliga under en längre tid. Eftersom X är slumpmässigt, också , Operationerna av medelvärdet och tar tidderivatet pendlar, så vi kan skriva ekvationen. För att lösa denna differentialekvation, skriv. Ekvationen blir. Lösningen är. För de verkliga system som granskas experimentellt dör den exponentiella termen i mycket mindre Än en mikrosekund, så för en partikel som börjar vid ursprunget. Därigenom genom att göra flera experiment och medelvärde kan Boltzmanns konstanta k B hittas, och från det Avogadros siffra, som tidigare. Notera att konstansen även uppträder i diskussionerna av slumpmolekylär rörelse och den slumpmässiga vägen är det samma sak.1 Beräkna exponentials sönderfallstid i det integrerade uttrycket för yt ovan. Du måste hitta viskositeten hos vatten och uppskatta sfärens storlek som några mikron .2 Uppskatta hur snabbt tätheten av gula sfärer faller med höjden i Perrin s atmosfär.3 Notera det genomsnittliga avståndet som reste i den sista ekvationen ovan beror på den kinetiska energin, storleken och viskositeten. Det betyder att en liten bly sfär skulle diffundera samma Avståndet i genomsnitt som en liten sfär av olja av samma storlek Men det är inte blyen som rör sig mycket långsammare, eftersom den har samma genomsnittliga kinetiska energi Förklara. För Browns arbete, se En källabok i fysik WF Magie Harvard , 1963, sidan 251, där flera sidor från den ursprungliga broschyren återges. Albert Einstein Undersökningar om Theory of the Brownian Movement Dover New York 1956.Janan Perrin Brownian Motion och Molecular Reality Dover New York 2005.Langevin s papper i översättning Am J Phys 65 11 november 1997, 1079. Wolfgang Pauli Pauli föreläsningar om fysik volym 4, statistisk mekanik Dover New York 2000, sid 64.